Étudier la convergence de int _(1)^infty (1)/((2x+25)^4/3)dx et, si l'intégrale est convergente, donner sa valeur. a) L'intégrale est square b) Dans I'hypothèse où elle est convergente, sa valeur exacte est square Ecrire 333 si l'intégrale est divergente.

L'intégrale donnée est une intégrale impropre de la forme avec . Pour étudier sa convergence, on peut utiliser le critère de comparaison avec des intégrales de Riemann.On sait que converge si et diverge si .On a : \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} \sim \frac{1}{(2x)^{4/3}} = \frac{1}{2^{4/3}x^{4/3}} \quad \text{quand } x \to \infty Puisque , l'intégrale converge. Par conséquent, par le critère de comparaison, l'intégrale converge également.Calculons maintenant la valeur de l'intégrale : \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx Posons , alors , donc . Quand , . Quand , . \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \frac{1}{2} \int_{27}^{2t+25} u^{-4/3} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-1/3}}{-1/3} \right]_{27}^{2t+25} = -\frac{3}{2} \left[ \frac{1}{u^{1/3}} \right]_{27}^{2t+25} = -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{27^{1/3}} \right) = -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{3} \right) Donc, \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \lim_{t \to \infty} -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{3} \right) = -\frac{3}{2} \left( 0 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} a) L'intégrale est **convergente**.b) Dans l'hypothèse où elle est convergente, sa valeur exacte est **1/2**.