Question
An unstable particle is at rest and suddenly breaks-up into two fragments. No external forces act on the particle or its fragments. One of the fragments has a velocity of +0.800c and a mass of 1.67times 10 {}^27kg while the other has a mass of 5.01times 10^-27kg What is the velocity of the more massive fragment?
Solution
4.2
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Sarah
Veteran · Tutor for 11 years
Answer
Dato che nessuna forza esterna agisce sul sistema, la quantità di moto totale deve conservarsi. Prima della disintegrazione, la particella è a riposo, quindi la quantità di moto totale è zero. Dopo la disintegrazione, la quantità di moto totale dei due frammenti deve anch'essa essere zero.La quantità di moto relativistica è data da:
dove
è la quantità di moto,
è la massa,
è la velocità e
è il fattore di Lorentz, definito come:
Indichiamo con
la massa del primo frammento e con
la sua velocità. Indichiamo con
la massa del secondo frammento e con
la sua velocità, che vogliamo determinare.La conservazione della quantità di moto implica:
ovvero:
Calcoliamo
:
Quindi:
Risolvendo per
:
Poiché
deve essere negativa (direzione opposta a
), e
è sempre maggiore di 1, il valore assoluto di
sarà inferiore a
. Per determinare il valore esatto, dobbiamo risolvere l'equazione per
considerando la definizione di
. Questo porta ad un'equazione non lineare che può essere risolta numericamente. Tuttavia, possiamo approssimare
poiché ci aspettiamo che la velocità
sia significativamente inferiore a
.Quindi, approssimativamente:
Per una soluzione più precisa, è necessario risolvere l'equazione non lineare. Sostituendo
nella definizione di
e risolvendo, si ottiene un valore più preciso di
.