23) lim _(xarrow 0^+)x^-nx

La question posée est : $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{-n}x$<br /><br />On peut simplifier l'expression :<br /><br />$x^{-n}x = x^{-n} \cdot x^1 = x^{1-n}$<br /><br />Donc, on cherche $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{1-n}$.<br /><br />Le résultat de cette limite dépend de la valeur de $n$ :<br /><br />* **Si $1-n > 0$ (c'est-à-dire $n < 1$) :** Alors $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{1-n} = 0$.<br /><br />* **Si $1-n = 0$ (c'est-à-dire $n = 1$) :** Alors $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{1-n} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^0 = 1$.<br /><br />* **Si $1-n < 0$ (c'est-à-dire $n > 1$) :** Alors $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{1-n} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x^{n-1}} = +\infty$.<br /><br /><br />Donc, la réponse est :<br /><br />* $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{-n}x = 0$ si $n < 1$<br />* $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{-n}x = 1$ si $n = 1$<br />* $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{-n}x = +\infty$ si $n > 1$<br />