f etg sont deux fonctions de R vers R définies respectivement par f(x)=x^2+x-2etg(x)=sqrt (x) a) Détermine D_(f);D_(fog)etD_(gof) b) Détermine fcirc g(x)etgcirc f(x)

a) **Détermination des domaines de définition:**<br /><br />* **Df :** La fonction f(x) = x² + x - 2 est un polynôme. Les polynômes sont définis pour tout réel x. Donc Df = ℝ.<br /><br />* **Dfog :** Pour que f o g soit définie, il faut que g(x) appartienne à Df. Or Df = ℝ. Il faut donc que g(x) soit définie. La fonction g(x) = √x est définie pour x ≥ 0. Donc Dfog = [0, +∞[.<br /><br />* **Dgof :** Pour que g o f soit définie, il faut que f(x) appartienne à Dg. Dg = [0, +∞[. Il faut donc que f(x) ≥ 0. On cherche donc les x tels que x² + x - 2 ≥ 0. En factorisant, on obtient (x+2)(x-1) ≥ 0. Le polynôme est positif à l'extérieur des racines. Donc Dgof = ]-∞, -2] U [1, +∞[.<br /><br /><br />b) **Détermination des composées:**<br /><br />* **f o g(x) :** f(g(x)) = f(√x) = (√x)² + √x - 2 = x + √x - 2 pour x ≥ 0.<br /><br />* **g o f(x) :** g(f(x)) = g(x² + x - 2) = √(x² + x - 2) pour x ∈ ]-∞, -2] U [1, +∞[.<br />