Câu 6 Tính tổng S=sum _(n=1)^infty (3^n-2)/(n!) Khẳng định nào dưới đây là đúng? A S=(1)/(9)(e^3-1) B S=(1)/(9)ln(3)/(4) C S=(1)/(9)e^3 D S=ln(3)/(4) D

Ta có khai triển Taylor của hàm số $e^x$ tại $x=0$ là:<br />$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$<br /><br />Do đó:<br />$e^3 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$<br />$\Rightarrow e^3 - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$<br /><br />Ta có:<br />$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-2}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{3^2 n!} = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = \frac{1}{9} (e^3 - 1)$<br /><br />Vậy đáp án đúng là **A**.<br />