Câu 10 Khai triển hàm số f(x)=(x-2)^3e^5x thành chuỗi Taylor trong lân cận của điểm x=2 Khẳng định nào dưới đây là đáng? A A f(x)=e^10sum _(n=1)^infty (5^n)/(n!)(x-2)^n+3,forall xin R f(x)=e^10sum _(n=0)^infty (5^n)/(n!)(x-2)^n+3,forall xin R C C f(x)=e^5sum _(n=1)^infty (5^n)/(n!)(x-2)^n+3,forall xin R D f(x)=e^5sum _(n=0)^infty (5^n)/(n!)(x-2)^n+3,forall xin R

Khai triển Taylor của hàm số $e^x$ tại điểm $x=a$ là:<br />$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$<br /><br />Áp dụng vào bài toán, ta khai triển $e^{5x}$ tại điểm $x=2$:<br />$e^{5x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{5*2}}{n!}(5x-5*2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{10}5^n}{n!}(x-2)^n$<br /><br />Nhân với $(x-2)^3$, ta được:<br />$f(x) = (x-2)^3e^{5x} = (x-2)^3 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{10}5^n}{n!}(x-2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{10}5^n}{n!}(x-2)^{n+3}$<br /><br />Vậy đáp án đúng là **B**.<br />