Câu 5 (1.5 điếm). Giải phương trình vi phân sau y'+(6x^5y)/(x^6)+2019=(1)/(x^3),(ygt 0,xgt 0)

Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất dạng $y' + P(x)y = Q(x)$ với $P(x) = \frac{6x^5}{x^6 + 2019}$ và $Q(x) = \frac{1}{x^3}$.<br /><br />Ta tìm thừa số tích phân:<br />$$ \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{6x^5}{x^6 + 2019}dx} $$<br />Đặt $u = x^6 + 2019$, ta có $du = 6x^5 dx$. Vậy<br />$$ \int \frac{6x^5}{x^6 + 2019}dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|x^6 + 2019| + C $$<br />Vì $x > 0$ nên $x^6 + 2019 > 0$. Do đó,<br />$$ \mu(x) = e^{\ln(x^6 + 2019)} = x^6 + 2019 $$<br />Nhân cả hai vế của phương trình vi phân với thừa số tích phân $\mu(x)$, ta được:<br />$$ (x^6 + 2019)y' + 6x^5y = \frac{x^6 + 2019}{x^3} $$<br />$$ \frac{d}{dx}[(x^6 + 2019)y] = x^3 + \frac{2019}{x^3} $$<br />Lấy tích phân hai vế theo $dx$:<br />$$ (x^6 + 2019)y = \int (x^3 + \frac{2019}{x^3})dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2019}{2x^2} + C $$<br />Suy ra,<br />$$ y = \frac{\frac{x^4}{4} - \frac{2019}{2x^2} + C}{x^6 + 2019} $$<br /><br />Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là $y = \frac{\frac{x^4}{4} - \frac{2019}{2x^2} + C}{x^6 + 2019}$.<br />