Exercice 7 Soitf la fonction de IR vers IR définie par : f(x)=2-x^2+2x 1. Justifie que pour tout nombre réel x,f(x)=3-(x-1)^2 2. Justifie que pour tout nombre réel x,f(x)leqslant 3

1. Pour justifier que pour tout nombre réel x, f(x) = 3 - (x-1)², il suffit de développer l'expression 3 - (x-1)² et de vérifier qu'on retrouve bien l'expression initiale de f(x).<br /><br />Développons 3 - (x-1)² :<br /><br />3 - (x-1)² = 3 - (x² - 2x + 1) = 3 - x² + 2x - 1 = 2 - x² + 2x<br /><br />On retrouve bien l'expression initiale de f(x), donc pour tout nombre réel x, f(x) = 3 - (x-1)².<br /><br /><br />2. Pour justifier que pour tout nombre réel x, f(x) ≤ 3, on utilise l'expression f(x) = 3 - (x-1)².<br /><br />Un carré est toujours positif ou nul, donc (x-1)² ≥ 0. Par conséquent, -(x-1)² ≤ 0.<br /><br />En ajoutant 3 aux deux membres de l'inégalité, on obtient :<br /><br />3 - (x-1)² ≤ 3<br /><br />Or, f(x) = 3 - (x-1)², donc f(x) ≤ 3 pour tout nombre réel x.<br />