Étudier la convergence de int _(3)^19(2)/((x-11)^1/3)dx et, si l'intégrale est convergente, donner sa valeur. a) L'intégrale est square b) Dans I'hypothèse où elle est convergente, sa valeur approximative à pm 0.001 est square Ecrire 333 si l'intégrale est divergente.

L'intégrale donnée est une intégrale impropre car la fonction $f(x) = \frac{2}{(x-11)^{1/3}}$ n'est pas définie en $x=11$, qui appartient à l'intervalle d'intégration $[3, 19]$. Nous devons donc la décomposer en deux intégrales :<br /><br />$\int_{3}^{19} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx = \int_{3}^{11} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx + \int_{11}^{19} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx$<br /><br />Étudions la convergence de la première intégrale :<br /><br />$\int_{3}^{11} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx = \lim_{t \to 11^-} \int_{3}^{t} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx$<br /><br />$= \lim_{t \to 11^-} [2 * \frac{3}{2} (x-11)^{2/3}]_3^t$<br />$= \lim_{t \to 11^-} [3(x-11)^{2/3}]_3^t$<br />$= \lim_{t \to 11^-} [3(t-11)^{2/3} - 3(3-11)^{2/3}]$<br />$= \lim_{t \to 11^-} [3(t-11)^{2/3} - 3(-8)^{2/3}]$<br />$= 0 - 3(4) = -12$<br /><br />La première intégrale converge et vaut -12.<br /><br />Étudions la convergence de la deuxième intégrale :<br /><br />$\int_{11}^{19} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx = \lim_{t \to 11^+} \int_{t}^{19} \frac{2}{(x-11)^{1/3}} dx$<br /><br />$= \lim_{t \to 11^+} [3(x-11)^{2/3}]_t^{19}$<br />$= \lim_{t \to 11^+} [3(19-11)^{2/3} - 3(t-11)^{2/3}]$<br />$= \lim_{t \to 11^+} [3(8)^{2/3} - 3(t-11)^{2/3}]$<br />$= 3(4) - 0 = 12$<br /><br />La deuxième intégrale converge et vaut 12.<br /><br />Par conséquent, l'intégrale initiale converge et sa valeur est :<br /><br />$-12 + 12 = 0$<br /><br />a) L'intégrale est **convergente**.<br />b) Dans l'hypothèse où elle est convergente, sa valeur approximative à $\pm 0.001$ est **0**.<br />