Câu 12 Gọi X là miền hội tụ của chuỗi hàm sum _(n=1)^infty ((n+1)/(3n+2))^nx^n Khẳng định nào dưới đây là đúng? A X=(-3,3] A B X=(-1,1) C X=(-3,3) D X=(-3,3)

Ta có chuỗi hàm $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n+1}{3n+2})^n x^n$.<br /><br />Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy-Hadamard, ta có:<br /><br />$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(\frac{n+1}{3n+2})^n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{3}$<br /><br />Vậy $R = 3$. Miền hội tụ của chuỗi là $(-3, 3)$.<br /><br />Ta xét tại $x=3$:<br />$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n+1}{3n+2})^n 3^n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3n+3}{3n+2})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{3n+2})^n$<br /><br />Ta có $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{3n+2})^n = \lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{3n+2})^{3n+2}]^{\frac{n}{3n+2}} = e^{\lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n+2}} = e^{\frac{1}{3}} \ne 0$<br /><br />Vậy chuỗi phân kỳ tại $x=3$.<br /><br />Ta xét tại $x=-3$:<br />$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n+1}{3n+2})^n (-3)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\frac{3n+3}{3n+2})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1 + \frac{1}{3n+2})^n$<br /><br />Đặt $u_n = (1 + \frac{1}{3n+2})^n$. Ta có $\lim_{n \to \infty} u_n = e^{\frac{1}{3}} \ne 0$. Do đó chuỗi phân kỳ tại $x=-3$.<br /><br />Vậy miền hội tụ của chuỗi là $(-3, 3)$.<br /><br />Vậy đáp án đúng là **C**.<br />Final Answer: The final answer is $\boxed{C}$