Câu 14 Cho I=int _(0)^(1)/(4)arcsin(2x)dx Khẳng định nào dưới đây là đúng? A A I=(pi )/(24)+(sqrt (3))/(8)-(1)/(4) B I=(pi )/(12)+(sqrt (3))/(4)-(1)/(2) B I=(pi )/(24)+(sqrt (3))/(4)-(1)/(2) D I=(pi )/(24)+(sqrt (3))/(2)-1

Ta tính tích phân $I$ bằng phương pháp tích phân từng phần. Đặt $u = \arcsin(2x)$ và $dv = dx$. Suy ra $du = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$ và $v = x$.<br /><br />$I = \int_{0}^{\frac{1}{4}} \arcsin(2x) dx = \left[ x\arcsin(2x) \right]_0^{\frac{1}{4}} - \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$<br />$= \frac{1}{4}\arcsin(\frac{1}{2}) - 0 - \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$<br />$= \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{6} - \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$<br />$= \frac{\pi}{24} - \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$<br /><br />Đặt $t = 1 - 4x^2$, suy ra $dt = -8x dx$. Khi $x=0$ thì $t=1$. Khi $x=\frac{1}{4}$ thì $t = 1 - 4(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4}$.<br />$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{-\frac{1}{4}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{3}{4}} t^{-\frac{1}{2}}dt = -\frac{1}{4} \left[ 2t^{\frac{1}{2}} \right]_1^{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{3}{4}} - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$<br /><br />Vậy $I = \frac{\pi}{24} - \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi}{24} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$.<br /><br />Vậy đáp án đúng là **A**.<br />