Étudier la convergence de int _(1)^infty (1)/((2x+25)^4/3)dx et, si l'intégrale est convergente, donner sa valeur. a) L'intégrale est square b) Dans I'hypothèse où elle est convergente, sa valeur exacte est square Ecrire 333 si l'intégrale est divergente.

L'intégrale donnée est une intégrale impropre de la forme $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ avec $f(x) = \frac{1}{(2x+25)^{4/3}}$. Pour étudier sa convergence, on peut utiliser le critère de comparaison avec des intégrales de Riemann.<br /><br />On sait que $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ converge si $p > 1$ et diverge si $p \le 1$.<br /><br />On a :<br />$$ \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} \sim \frac{1}{(2x)^{4/3}} = \frac{1}{2^{4/3}x^{4/3}} \quad \text{quand } x \to \infty $$<br />Puisque $4/3 > 1$, l'intégrale $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4/3}} dx$ converge. Par conséquent, par le critère de comparaison, l'intégrale $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx$ converge également.<br /><br />Calculons maintenant la valeur de l'intégrale :<br /><br />$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx $$<br /><br />Posons $u = 2x + 25$, alors $du = 2dx$, donc $dx = \frac{1}{2} du$. Quand $x=1$, $u=27$. Quand $x=t$, $u=2t+25$.<br /><br />$$ \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \frac{1}{2} \int_{27}^{2t+25} u^{-4/3} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-1/3}}{-1/3} \right]_{27}^{2t+25} = -\frac{3}{2} \left[ \frac{1}{u^{1/3}} \right]_{27}^{2t+25} $$<br /><br />$$ = -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{27^{1/3}} \right) = -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{3} \right) $$<br /><br />Donc,<br /><br />$$ \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(2x+25)^{4/3}} dx = \lim_{t \to \infty} -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{(2t+25)^{1/3}} - \frac{1}{3} \right) = -\frac{3}{2} \left( 0 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} $$<br /><br />a) L'intégrale est **convergente**.<br />b) Dans l'hypothèse où elle est convergente, sa valeur exacte est **1/2**.<br />