[(4cdot a^-3cdot c^2cdot (acdot c^-1)^3)/(8cdot a^2)cdot c^(-2cdot (ccdot a^-2)^2)]^2

Para simplificar la expresión dada, sigamos los pasos uno por uno:<br /><br />La expresión original es:<br /><br />\[<br />\left[\frac{4 \cdot a^{-3} \cdot c^{2} \cdot (a \cdot c^{-1})^{3}}{8 \cdot a^{2} \cdot c^{-2} \cdot (c \cdot a^{-2})^{2}}\right]^{2}<br />\]<br /><br />Primero, simplifiquemos las potencias dentro de los paréntesis:<br /><br />1. \((a \cdot c^{-1})^{3} = a^{3} \cdot (c^{-1})^{3} = a^{3} \cdot c^{-3}\)<br /><br />2. \((c \cdot a^{-2})^{2} = c^{2} \cdot (a^{-2})^{2} = c^{2} \cdot a^{-4}\)<br /><br />Sustituyendo estas simplificaciones en la expresión original, obtenemos:<br /><br />\[<br />\left[\frac{4 \cdot a^{-3} \cdot c^{2} \cdot a^{3} \cdot c^{-3}}{8 \cdot a^{2} \cdot c^{-2} \cdot c^{2} \cdot a^{-4}}\right]^{2}<br />\]<br /><br />Ahora, combinemos las potencias de \(a\) y \(c\):<br /><br />- Para \(a\): \(a^{-3} \cdot a^{3} = a^{0} = 1\)<br />- Para \(c\): \(c^{2} \cdot c^{-3} = c^{-1}\)<br /><br />En el denominador:<br /><br />- Para \(a\): \(a^{2} \cdot a^{-4} = a^{-2}\)<br />- Para \(c\): \(c^{-2} \cdot c^{2} = c^{0} = 1\)<br /><br />La expresión se simplifica a:<br /><br />\[<br />\left[\frac{4 \cdot c^{-1}}{8 \cdot a^{-2}}\right]^{2}<br />\]<br /><br />Simplificando aún más:<br /><br />\[<br />= \left[\frac{4}{8} \cdot \frac{c^{-1}}{a^{-2}}\right]^{2}<br />\]<br /><br />\[<br />= \left[\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2}}{c}\right]^{2}<br />\]<br /><br />\[<br />= \left[\frac{a^{2}}{2c}\right]^{2}<br />\]<br /><br />Finalmente, elevamos al cuadrado:<br /><br />\[<br />= \frac{a^{4}}{4c^{2}}<br />\]<br /><br />Por lo tanto, la expresión simplificada es:<br /><br />\[<br />\frac{a^{4}}{4c^{2}}<br />\]