Remaining "How Did I Do?" Uses: 2/3 Trouvez l'aire de la région comprisse entre les trois courbes y=3x,y=5xety=(4)/(x)+1 dans le premier quadrant (définie par xgeqslant 0 et ygeqslant 0 Donnez votre réponse avec une précision de trois chiffres décimaux. Réponse:

Pour trouver l'aire de la région comprise entre les trois courbes $y=3x$, $y=5x$ et $y=\frac{4}{x}+1$ dans le premier quadrant, nous devons d'abord déterminer les points d'intersection de ces courbes.<br /><br />1. Intersection de $y=3x$ et $y=5x$:<br /> $3x = 5x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$. Le point d'intersection est $(0,0)$.<br /><br />2. Intersection de $y=3x$ et $y=\frac{4}{x}+1$:<br /> $3x = \frac{4}{x} + 1 \Rightarrow 3x^2 - x - 4 = 0$. En utilisant la formule quadratique, on obtient $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6}$. Puisque nous sommes dans le premier quadrant, nous prenons la solution positive : $x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Le point d'intersection est $(\frac{4}{3}, 4)$.<br /><br />3. Intersection de $y=5x$ et $y=\frac{4}{x}+1$:<br /> $5x = \frac{4}{x} + 1 \Rightarrow 5x^2 - x - 4 = 0$. En utilisant la formule quadratique, on obtient $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(5)(-4)}}{2(5)} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{10} = \frac{1 \pm 9}{10}$. Puisque nous sommes dans le premier quadrant, nous prenons la solution positive : $x = \frac{10}{10} = 1$. Le point d'intersection est $(1, 5)$.<br /><br />L'aire recherchée est la somme de deux aires :<br /><br />* L'aire entre $y=3x$ et $y=5x$ de $x=0$ à $x=\frac{4}{3}$:<br /> $A_1 = \int_0^{4/3} (5x - 3x) dx = \int_0^{4/3} 2x dx = [x^2]_0^{4/3} = (\frac{4}{3})^2 - 0^2 = \frac{16}{9}$.<br /><br />* L'aire entre $y=3x$ et $y=\frac{4}{x}+1$ de $x=\frac{4}{3}$ à $x=1$:<br /> $A_2 = \int_{4/3}^1 (\frac{4}{x} + 1 - 3x) dx = [4\ln|x| + x - \frac{3}{2}x^2]_{4/3}^1 = (4\ln(1) + 1 - \frac{3}{2}) - (4\ln(\frac{4}{3}) + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}(\frac{4}{3})^2) = (1 - \frac{3}{2}) - (4\ln(\frac{4}{3}) + \frac{4}{3} - \frac{8}{3}) = -\frac{1}{2} - 4\ln(\frac{4}{3}) + \frac{4}{3} = \frac{5}{6} - 4\ln(\frac{4}{3})$.<br /><br />L'aire totale est $A = A_1 + A_2 = \frac{16}{9} + \frac{5}{6} - 4\ln(\frac{4}{3}) = \frac{32+15}{18} - 4\ln(\frac{4}{3}) = \frac{47}{18} - 4\ln(\frac{4}{3}) \approx 2.611 - 4(0.2877) \approx 2.611 - 1.1508 \approx 1.460$.<br /><br />Réponse: 1.460<br />