39. Twins who are 19.0 years of age leave the earth and travel to a distant planet 12.0 light-vears away. Assume that the planet and earth are at rest with respect to each other. The twins depart at the same time on different spaceships. One twin travels at a speed of 0.900c, while the other twin travels at 0.500c (a) According to the theory of special relativity.what is the difference between their ages when they meet again at the earliest possible time? (b)Which twin is older?

**(a)** Calcoliamo il tempo di viaggio per ogni gemello dal punto di vista della Terra.<br /><br />* **Gemello 1 (v = 0.900c):**<br /><br />La distanza è di 12.0 anni luce. Il tempo impiegato dal gemello 1, visto dalla Terra, è:<br /><br />t₁ = d / v = (12.0 anni luce) / (0.900c) = 13.33 anni<br /><br />* **Gemello 2 (v = 0.500c):**<br /><br />Il tempo impiegato dal gemello 2, visto dalla Terra, è:<br /><br />t₂ = d / v = (12.0 anni luce) / (0.500c) = 24.0 anni<br /><br /><br />Ora calcoliamo il tempo proprio trascorso per ogni gemello usando la dilatazione temporale:<br /><br />* **Gemello 1:**<br /><br />τ₁ = t₁ * √(1 - v²/c²) = 13.33 anni * √(1 - (0.900c)²/c²) = 13.33 anni * √(1 - 0.81) ≈ 5.84 anni<br /><br />* **Gemello 2:**<br /><br />τ₂ = t₂ * √(1 - v²/c²) = 24.0 anni * √(1 - (0.500c)²/c²) = 24.0 anni * √(1 - 0.25) ≈ 20.78 anni<br /><br /><br />Il gemello 1 arriva prima sul pianeta. Deve aspettare che arrivi il gemello 2. Il tempo di attesa per il gemello 1, nel suo sistema di riferimento, è:<br /><br />Tempo di attesa₁ = (t₂ - t₁) * √(1 - (0.900c)²/c²) = (24.0 anni - 13.33 anni) * √(1 - 0.81) ≈ 4.72 anni<br /><br /><br />Quindi, l'età del gemello 1 quando si incontrano è:<br /><br />Età₁ = 19.0 anni + τ₁ + Tempo di attesa₁ = 19.0 anni + 5.84 anni + 4.72 anni ≈ 29.56 anni<br /><br />L'età del gemello 2 quando si incontrano è:<br /><br />Età₂ = 19.0 anni + τ₂ = 19.0 anni + 20.78 anni ≈ 39.78 anni<br /><br /><br />La differenza di età quando si incontrano è:<br /><br />Differenza di età = |Età₂ - Età₁| = |39.78 anni - 29.56 anni| ≈ 10.22 anni<br /><br /><br />**(b)** Il gemello 2 è più vecchio.<br />