avane. 3: Utilisation des savoirs, 4 ptg (Tle D uniquement) e simple, constitué d'une boule de masse m=20g ettachée à d'un fil inextensible de longueur L=1,0m et de masse , est suspendu à un point fixe 0. On le met en mouvement , en angle QQ à la verticale, le fil étant tendu, puis on le lãche initiale.On néglige tous les frottements. quant la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet, iation différentielle du mouvement do la boule __ 1 pt quation horaire du mouvement de la boule. 1 pt uant le théorème de l'énergle cinétique déterminer l'expression de la 0.75

Pour résoudre ce problème, nous allons analyser le mouvement d'un pendule simple en utilisant la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet et le théorème de l'énergie cinétique.<br /><br />### 1. Deuxième loi de Newton dans la base de Frenet<br /><br />Le pendule est constitué d'une boule de masse \( m = 20 \, \text{g} = 0,02 \, \text{kg} \) attachée à un fil inextensible de longueur \( L = 1,0 \, \text{m} \). Lorsqu'il est déplacé d'un angle initial \(\theta_0 = 68^\circ\) par rapport à la verticale et relâché, il oscille sous l'effet de la gravité.<br /><br />Dans la base de Frenet, les forces agissant sur la boule sont :<br />- La tension \( T \) du fil, dirigée vers le centre de rotation.<br />- Le poids \( \vec{P} = m \vec{g} \), où \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \).<br /><br />La deuxième loi de Newton s'écrit dans la direction radiale (centripète) et tangentielle :<br /><br />**Radiale :**<br />\[ T - mg \cos(\theta) = m \frac{v^2}{L} \]<br /><br />**Tangentielle :**<br />\[ -mg \sin(\theta) = m \frac{d^2s}{dt^2} \]<br />où \( s \) est l'arc parcouru, \( s = L\theta \).<br /><br />### 2. Équation différentielle du mouvement<br /><br />En utilisant l'équation tangentielle, on obtient :<br />\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin(\theta) = 0 \]<br /><br />Pour des petits angles, cette équation se simplifie en une équation harmonique simple :<br />\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0 \]<br /><br />### 3. Équation horaire du mouvement<br /><br />Pour des petits angles, la solution de l'équation harmonique est :<br />\[ \theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} t\right) \]<br /><br />Avec \(\theta_0 = 68^\circ = \frac{68 \pi}{180} \, \text{rad}\).<br /><br />### 4. Théorème de l'énergie cinétique<br /><br />Le théorème de l'énergie cinétique permet de relier l'énergie potentielle et l'énergie cinétique. À partir de la position la plus haute (angle maximal), toute l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique au point le plus bas.<br /><br />Énergie potentielle initiale :<br />\[ E_p = mgL(1 - \cos(\theta_0)) \]<br /><br />Énergie cinétique au point le plus bas :<br />\[ E_k = \frac{1}{2} mv^2 \]<br /><br />En appliquant la conservation de l'énergie mécanique :<br />\[ mgL(1 - \cos(\theta_0)) = \frac{1}{2} mv^2 \]<br /><br />D'où l'expression de la vitesse au point le plus bas :<br />\[ v = \sqrt{2gL(1 - \cos(\theta_0))} \]<br /><br />Ces étapes permettent de décrire le mouvement du pendule simple en utilisant les principes de la dynamique et de l'énergie.