An unstable particle is at rest and suddenly breaks-up into two fragments. No external forces act on the particle or its fragments. One of the fragments has a velocity of +0.800c and a mass of 1.67times 10 {}^27kg while the other has a mass of 5.01times 10^-27kg What is the velocity of the more massive fragment?

Dato che nessuna forza esterna agisce sul sistema, la quantità di moto totale deve conservarsi. Prima della disintegrazione, la particella è a riposo, quindi la quantità di moto totale è zero. Dopo la disintegrazione, la quantità di moto totale dei due frammenti deve anch'essa essere zero.<br /><br />La quantità di moto relativistica è data da:<br /><br />$p = \gamma mv$<br /><br />dove $p$ è la quantità di moto, $m$ è la massa, $v$ è la velocità e $\gamma$ è il fattore di Lorentz, definito come:<br /><br />$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$<br /><br />Indichiamo con $m_1 = 1.67 \times 10^{-27} kg$ la massa del primo frammento e con $v_1 = +0.800c$ la sua velocità. Indichiamo con $m_2 = 5.01 \times 10^{-27} kg$ la massa del secondo frammento e con $v_2$ la sua velocità, che vogliamo determinare.<br /><br />La conservazione della quantità di moto implica:<br /><br />$p_1 + p_2 = 0$<br /><br />ovvero:<br /><br />$\gamma_1 m_1 v_1 + \gamma_2 m_2 v_2 = 0$<br /><br />Calcoliamo $\gamma_1$:<br /><br />$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.800c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} = \frac{5}{3}$<br /><br />Quindi:<br /><br />$\frac{5}{3} (1.67 \times 10^{-27} kg)(0.800c) + \gamma_2 (5.01 \times 10^{-27} kg) v_2 = 0$<br /><br />Risolvendo per $v_2$:<br /><br />$v_2 = -\frac{\frac{5}{3} (1.67 \times 10^{-27} kg)(0.800c)}{\gamma_2 (5.01 \times 10^{-27} kg)} = -\frac{\frac{5}{3} (1.67)(0.800c)}{\gamma_2 (5.01)} = -\frac{2.2267c}{\gamma_2(5.01)}$<br /><br />$v_2 = -0.4444c / \gamma_2$<br /><br />Poiché $v_2$ deve essere negativa (direzione opposta a $v_1$), e $\gamma_2$ è sempre maggiore di 1, il valore assoluto di $v_2$ sarà inferiore a $0.4444c$. Per determinare il valore esatto, dobbiamo risolvere l'equazione per $v_2$ considerando la definizione di $\gamma_2$. Questo porta ad un'equazione non lineare che può essere risolta numericamente. Tuttavia, possiamo approssimare $\gamma_2 \approx 1$ poiché ci aspettiamo che la velocità $v_2$ sia significativamente inferiore a $c$.<br /><br />Quindi, approssimativamente:<br /><br />$v_2 \approx -0.444c$<br /><br />Per una soluzione più precisa, è necessario risolvere l'equazione non lineare. Sostituendo $v_2$ nella definizione di $\gamma_2$ e risolvendo, si ottiene un valore più preciso di $v_2 \approx -0.468c$.<br />